Конструкції та зважування

КОНСТРУКЦІЇ ТА ЗВАЖУВАННЯ

1.     Маємо два пісочні годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин, яйце ва­риться 15 хвилин. Як відміряти цей час з допомогою годинників?

Розв'язання

Поставити два годинники одночасно. Через 7 хвилин починати вари­ти яйце. У другому годиннику пісок ще буде сипатись 4 хвилини. Після цього перевернути другий годинник і виміряти ще 11 хвилин.

2.     Сказав Змій Івану-Царевичу: «Жити тобі до завтрашнього ранку. Вранці прийдеш до мене. Я задумаю три цифри а, b, с, а ти назвеш мені три числа — х, у, z. Після цього я тобі скажу, чому дорівнює значення ви­разу ах+bу+сz. Тоді мусиш вгадати, які цифри а, b, с я задумав. Не вгада­єш — голова з пліч». Допоможіть Івану-Царевичу.

Розв'язання

Виберемо: х = 100, у = 10, z = 1.

Оскільки а, b, с — цифри, то сума ах + bу + сz = 100а + 10b + с співпадає з тризначним числом . Отже, за цією сумою цифри а, b, с однозначно відновлюються.

3.     Лікар повинен оглянути трьох хворих з різними інфекційними хво­
робами. Як це зробити, якщо він має тільки дві пари гумових рукавичок?

Розв'язання

Використавши дві пари рукавичок, лікар може оглянути двох хворих. Після чого одну з цих пар треба вивернути і вставити в ці рукавички із другої пари. Отримаємо пару подвійних рукавичок, у якої внутрішня і зовнішня поверхні дезінфіковані.

4.     Чи існують два послідовні натуральні числа такі, що сума цифр
кожного з них ділиться на 7?

Відповідь. Так, наприклад, 69999 та 70000.

5.     Чи існують декілька додатних чисел, сума яких дорівнює 1, а сума
квадратів яких менша від 0,01?

Відповідь. Так, наприклад, тисяча чисел, кожне з яких дорівнює 0,001.

6.     За один хід число, записане на дошці, дозволяється або замінити на
подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці було на­
писане число 458. Чи можна за декілька ходів дістати число 14?

Відповідь. Наприклад, так: 458 → 45 → 90 → 9 → 18 → 36 → 72 → 7 → 14.

7.     Складіть із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три тризначних числа так, щоб
сума двох чисел дорівнювала третьому і при цьому в одного із цих чисел
цифра десятків дорівнювала б 8 (кожну цифру треба використовувати
один раз).

Відповідь. Наприклад, 162 + 783 = 945.

8.     Потяг рухався в одному напрямку 5,5 годин. Відомо, що за будь-який
відрізок часу довжиною в одну годину він покривав відстань 100 км.

а) Чи правда, що поїзд рухався рівномірно?

в) Чи правда, що середня швидкість поїзда дорівнює 100 км/год?

Розв'язання

Доведемо, що потяг міг рухатись нерівномірно і його середня швид­кість не обов'язково дорівнює 100 км/год.

Розіб'ємо весь час руху потяга на 11 півгодинних інтервалів. Нехай кож­ної непарної півгодини потяг рухається так само, як і під час першої півгоди­ни, і проходить за кожні такі півгодини х км/год (0 ≤ х ≤ 100), а кожної парної півгодини він рухається точно так само, як і під час другої за рахунком півго­дини, і проходить кожної непарної півгодини (100-х) км/год. Тоді, як би не рухався потяг перші дві півгодини — рівномірно чи ні, — за кожну годину руху він проїде рівно 100 км.

Знайдемо тепер середню швидкість руху потяга. Відстань, яку проїде він за всі непарні півгодинні інтервали часу, дорівнює 6х км, а відстань, що проїде потяг за всі парні інтервали, дорівнює 5(100-х) км. Отже, за 5,5 год руху потяг проїхав 6х + 5(100 – x) = 500 + х (км).

Тому його середня швидкість дорівнює  км/год. При х ≠ 50 ця швидкість не дорівнює 100 км/год.

9.     Один чоловік щомісяця записував свої прибутки і видатки. Чи може
бути так, що за будь-які п'ять місяців поспіль його загальні видатки переви­щували прибутки, а в цілому за рік його прибутки перевищили його видатки?

Відповідь. Може.

Наведемо приклад: 2; 2; 2; 2; -9; 2; 2; 2; 2; -9; 2; 2. Тут виписані підряд різниці між його прибутками та видатками за кожен місяць року. Очевид­но, що сума будь-яких п'яти послідовних чисел цього набору дорівнює — 1, а в цілому за рік сума всіх чисел дорівнює 2.

10.                       Чи може бути так, що довжини всіх сторін одного трикутника
менші від 1 см, довжини всіх сторін другого трикутника більші від 100 м,
а площа першого трикутника більша від площі другого?

Відповідь. Може.

Нехай перший трикутник — правильний зі стороною 0,5 см, а другий — рівнобедрений трикутник із основою 200 м і висотою 10^{-7 м. Його бічна сторо­на більша, ніж половина основи, тобто більша, ніж 100 м, а площа дорівнює 10-5 м2} і менша від площі першого трикутника, що дорівнює см².

11.                       Чи можна розташувати на площі шість точок і з'єднати їх відрізка­
ми без само-перетинів так, щоб кожна точка була з'єднана рівно:

а) з трьома іншими точками; б) з чотирма іншими точками?

а)      б)

Відповідь, а) можна; б) можна. Приклади наведені на рисунках.

12.                       На площині розміщена певна опукла фігура. Відомо, що будь-які дві паралельні прямі, що мають з цією фігурою кожна лише по одній спільній точці, розміщена на відстані а одна від одної. Чи обов'яз­ково задана фігура є кругом з діаметром а?

Відповідь. Не обов'язково. Наведемо приклад такої фігури.

Нехай АВС — правильний трикутник. Проведемо дугу ВС з центром А, дугу кола з центром В, дугу АВ з центром кола С. Легко побачити, що фігура, обмежена цими дугами, задо­вольняє умову задачі, але не є кругом.

13.                       Чи існує чотирикутна піраміда, дві протилежні бічні грані якої перпен­дикулярні до площини основи?

Відповідь. Існує.

Наведемо приклад такої піраміди. Спочатку   розглянемо   трикутну піраміду SАВС, в якої бічне ребро SА перпендикулярне до площини основи  АВС. її бічні грані SАС та SАВ перпендикулярні до основи. Візьмемо тепер довільні точки М і N на сторонах АС і АВ відповідно. Піраміда SМNВС задовольняє умову задачі.

14.                       Є 9 монет, одна з них фальшива (легша від справжньої). За два зважування на талькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.

Розв'язання

Поділимо наші монети на три купки по три монети в кожній. Порів­няємо тепер вагу першої та другої купок. За першого зважування можливо дістати два результати: або ваги зрівноважаться, або якась купка виявить­ся легшою.

Розглянемо перший випадок. Очевидно, що фальшива монета знахо­диться у третій купці. Щоб її відшукати, за другого зважування покладемо на шальки по одній монеті з цієї купки. Якщо якась монета легша від іншої, то саме вона фальшива, а якщо монети мають рівну вагу, то третя монета — фальшива.

Розглянемо другий випадок. Очевидно, що фальшива монета знахо­диться в легшій купці. Щоб її відшукати, друге зважування проведемо так само, як і в першому випадку.

15.                       Є 101 монета. Серед них 100 однакових справжніх монет і одна
фальшива, що відрізняється від них вагою. Необхідно дізнатися, легша чи
важча фальшива монета від справжньої. Як це зробити з допомогою двох
зважувань на шалькових терезах без гир?

Розв'язання

Покладемо на шальки по 50 монет. Якщо терези врівноважені, то всі монети справжні, тому фальшива монета та, що не на терезах. Легша чи важча вона від справжньої, визначається за другого зважування в порів­нянні зі справжньою монетою. Якщо ж за першого зважування терези не врівноважені, то візьмемо, наприклад, легші 50 монет і поділимо на дві купки по 25 монет, порівняємо вагу цих купок. Якщо їх ваги однакові, то всі ці монети справжні, й фальшива монета знаходиться у важчій купці з 50 монет. Якщо ж їх ваги не однакові, то фальшива монета легша від справжньої.

16.                       Серед 20 металевих кубиків, однакових за розмірами і зовнішнім
виглядом, є алюмінієві й дюралеві (важчі). Як за допомогою 11 зважувань
на шалькових терезах без гир визначити число дюралевих кубиків?

Розв'язання

Візьмемо два довільних кубики й порівняємо їх маси за допомогою те­резів. При цьому можуть виникнути два випадки: шальки терезів не врівно­важились або шальки врівноважились. Розглянемо перший випадок. Зро­зуміло: що серед взятих кубиків один алюмінієвий, а другий дюралевий. Покладемо цю пару на одну шальку терезів. Розділимо ті 18 кубиків, що за­лишились, на дев'ять пар і кожну будемо порівнювати за масою з першою парою. Якщо досліджувана пара виявиться за масою такою ж, як і перша, то в цій парі один кубик алюмінієвий, а другий дюралевий. Якщо досліджу­вана пара буде легшою, то обидва кубики будуть алюмінієвими. Якщо досліджувана пара буде важчою, то обидва кубики цієї пари — дюралеві. Таким чином, незалежно від показань терезів, ми зможемо точно визначи­ти кількість дюралевих кубиків у кожній парі. Тому для підрахунку загальної кількості дюралевих кубиків досить десяти зважувань.

Розглянемо тепер другий випадок, коли за першого зважування шальки терезів врівноважились. Будемо брати із 18 кубиків, що залишились, по 2 і порівнювати їх із першою парою доти, поки ми не знайдемо пару з іншою вагою. Якщо ця пара виявиться важчою від першої, то всі кубики попе­редніх пар — алюмінієві, а якщо вона виявиться легшою, то всі кубики по­передніх пар — дюралеві. Тепер порівняємо між собою кубики цієї пари і дізнаємось, з яких кубиків вона складається, а потім серед розглянутих ку­биків утворимо пару з різними масами. Після цього всю решту пар кубиків будемо порівнювати з цією парою і робити відповідні висновки, як і під час розгляду першого випадку. Таким чином, у другому випадку для підрахунку загальної кількості дюралевих кубиків досить виконати 11 зважувань.

17.                       Є 101 монета. Серед них 50 фальшивих. Кожна фальшива монета
відрізняється від справжньої на 1 грам. За допомогою одного зважування
на терезах зі стрілкою (показує різницю мас на чашах) визначити, чи є мо­нета фальшивою.

Розв'язання

Для визначення справжності монети покладемо на кожну чашу терезів по 50 монет і знайдемо різницю їх мас. Якщо вибрана справжня монета, то серед 100 монет, які залишились, 50 фальшивих і 50 справжніх. Якщо на одній чаші а фальшивих монет, то на ній 50-а справжніх, а на другій чаші а справжніх і 50-а фальшивих. Тому різниця мас на цих чашах дорівнює 50 – а – а = 50 – 2a грамів, тобто є парним числом. Якщо ж вибрана фальши­ва монета, а на першій чаші k фальшивих монет, то вказана різниця дорівнює 49-2k грамів, тобто виражається непарним числом. Отже, не­парне показання стрілки вказує на фальшивість вибраної монети, а пар­ність — на справжність.

Задачі для самостійного розв'язування

18.                       Розкладіть гирі вагою 1, 2, 3,..., 555 на три купки, різні за вагою.

19.                       Замок складається із 64 однакових квадратних кімнат, що мають двері в кожній стіні і кожна має вигляд квадрата 8x8. Підлога в кімнатах пофарбована в білий колір. Щоранку маляр прогулюється по замку, при­чому, коли він проходить через кімнати, то перефарбовує підлогу в ній з білого кольору в чорний, а з чорного — в білий. Чи можливо, що колись підлога в замку буде пофарбованою в шаховому порядку в чорний та білий кольори?

20.                       Чи можна число 203 подати у вигляді суми декількох натуральних
чисел так, щоб і добуток цих чисел також дорівнював 203?

21.                       Як розташувати на площині декілька п'ятаків, щоб кожен з них до­тикався рівно до трьох інших?

22.                       Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 10x10 так, щоб у кожній
клітинці було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.

23.                       Чи можна покрити одиничний квадрат сімома такими самими квадратами так, щоб жодні два з них не перетиналися між собою, але кожен з них покривав хоч одну внутрішню точку заданого квадрата?

24.                       Чи можна в кубі вирізати отвір, через який пройде куб таких самих розмірів?

25.                       Є 6 монет, серед яких дві — фальшиві, вони легші від справжніх. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві
монети.

26.                       Є 10 мішків, деякі з них повністю заповнені фальшивими монета­ми, а всі інші — справжніми. Фальшива монета на один грам легша від справжньої. Про один з мішків відомо, що він заповнений справжніми
монетами. За одне зважування на терезах зі стрілкою знайдіть всі мішки із фальшивими монетами.

27.                       Є 6 гир: по дві зелених, чорних і білих. У кожній парі одна гиря важка, а друга – легка, причому всі важкі і всі легкі гирі важать однаково. За два зважування на шалькових терезах визначте всі три важкі гирі.

28.                       Є 16 монет, одна з яких — фальшива, однак невідомо, легша вона чи важча від справжньої. За чотири зважування на шалькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.

29.                       Є 12 монет, одна з яких — фальшива, однак невідомо, легша вона чи важча від справжньої. За три зважування на шалькових терезах без гир
знайдіть фальшиву монету.

30.                       Є 68 монет, різних за вагою. За 100 зважувань на шалькових тере­зах без гир знайдіть найважчу і найлегшу монети.