«Народна математика українців»

1.    Заняття гуртка «Народна математика»

2.    Народні знання

3.    Елементи народної математики

4.    Метрологія і математика

5.    Задачі - жарти та їх роль у розумовому розвитку дитини

6.    Задачі на кмітливість

7.    Усні задачі – жарти

8.    Логічні задачі

  

„Предмет математики є настільки

серйозним, що корисно не нехтувати

можливістю зробити його дещо цікавішим”

Блез Паскаль

       Ми багато вчили з народознавства про культуру нашого народу, про його звичаї, одяг. Але як українці в своєму побуті використовували математику, залишається для нас ще не зовсім дослідженою загадкою.

   На заняттях гуртка цього року ми познайомимось з математичною  культурою українського народу. Будемо розглядати стародавні задачі прикладного характеру, народні міри, різні способи усних обчислень, старовинне математичне письмо, математичні жарти та розваги, тобто будемо досліджувати математичну культуру українського народу.    Попередні два роки наші старші гуртківці вже проводили пошукову роботу про вклад українських учених в розвиток математики. Зібрали матеріали про українських математиків.  Досліджували походження української математичної термінології. (Демонструються матеріали пошукової роботи). А ми з вами по крупинках збиратимемо народні задачі, логічні та жартівливі загадки наших пращурів, наших дідусів і бабусь, наших батьків.

    Зародження математичних розваг у вигляді жартівливих і цікавих задач, головоломок, відгадування чисел та інших різноманітних зав­дань на кмітливість сягають глибокої давнини. Перші посібники з математики, що їх використовували у Вавилоні, Стародавньому Єгипті, Індії та Китаї, школах великих латиноамериканських, африкан­ських і тихоокеанських острівних цивілізацій, були збірниками ціка­вих задач і повчальних історій. Ці підручники залишилися навіть і тепер, коли накопичився вже достатній запас знань з матема­тики.

    Коли потрібно було вчити і вчити­ся математиці, люди перш за все зверталися до жартівливих задач і загадкових історій; тобто "вчились граючись".

    Десятки і сотні математичних задач на кмітливість переходили з покоління до покоління, з вуст у вуста, від народу до народу, з од­них книжок в інші. Одна з перших цікавих книжок з математики "Задачі для вдосконалення розуму юнацького" приписується вчено­му монаху VIII ст. Алькуіну з Йорка, який працював директором школи при дворі франкського короля Карла Великого. Ця книга ко­ристувалася великим успіхом протягом майже цілого тисячоліття. З неї взято багато цікавих задач, які користуються популярністю і тепер (серед них - задача "про переправу через річку вовка, кози і капусти" та інші).

       В Україні теж відомий цілий цикл цікавих задач, в яких вико­ристані математичні поняття. В них виявляється розум, кмітливість і спостережливість нашого народу, відбито його щоденне життя. Нерідко такі задачі, що прийшли до нас з глибини віків, прикрашені добрим народним гумором, забарвлені національним колоритом. Саме в народних задачах і загадках відображаються певні математичні поняття. Ось одна з них: "Скільки нас є?": Сім, сімнадцять, без двох двадцять, семеро, троє, ще й малих двоє. (54)

Серед українців побутувало поважне ставлення до освіти, батьки намагалися будь-що віддати своїх дітей у науку. Впродовж віків у народному середовищі виробилися оригінальні способи виконання арифметичних дій, розвитку логічного мислення. Отож і ми цим займаємось на заняттях нашого гуртка.

  До нашого гуртка вливаються нові учні. Ми за прикладом наших славних пращурів  запорізьких козаків приймемо їх в наші ряди, піддавши випробуванням. Чи зможуть вони в майбутньому гідно захищати нашу школу на олімпіадах, як Олександр Бойко і Юлія Демченко, які були призерами  обласної олімпіади з математики, чи зможуть стати учнями заочної Західно-української математичної школи, як Ростислав Кравець і Ярослав Синельник, чи приноситимуть Відмінні і Добрі результати в Міжнародному математичному  конкурсі «Кенгуру», які ми отримували протягом 11 років, чи зможуть вибороти право відпочивати в Міжнародному математичному таборі учасників «Кенгуру», як в цьому році наш Ростислав Кравець? Надіємось, що зможуть. Вони - наш резерв.

Слово надається нашим гуртківцям зі стажем.

Учень 1

 Математичні відомості українського народу мало досліджені не лише істориками математики, але і етнографами. Однак ця галузь знань дає цінний матеріал для вивчення розвитку культури українського народу. Значного розвитку математичні знання набули ще в часи Київської Русі. Незважаючи на всю різноманітність лічби, основною системою числення в українців була десяткова.

    Археологічні пам'ятки свідчать, що вже у IX—X ст. східні слов'яни застосовували прості прийоми лічби. У ХУШ-ХІХ ст. способи лічби поступово удосконалювалися, хоч подекуди серед населення залишились у вжитку обчислення, що виникли у давнину. Деякі селяни дуже швидко і правильно обчислювали на пальцях, особливо дію множення.

Наприклад, 7 х 9. На одній руці загинаємо стільки пальців, наскільки 7 більше 5, тобто загинаємо 2 пальці. На другій — на скільки 9 більше 5, тобто загинаємо 4 пальці. Отже, на одній руці загнуто 2, не загнуто 3 пальці; на другій руці загнуто 4 пальці, не загнутий 1    палець. Далі знаходимо число усіх загнутих пальців 2 + 4 = 6 (це будуть десятки ) і знаходимо добуток числа незагнугих пальців 3 х 1 = 3 (це будуть одиниці). У результаті одержуємо число 63. Цей спосіб описано у підручнику «Арифметика» Магницького, який вийшов у світ у 1703 р.

Пеше випробування: спробуйте повторити цей спосіб множення, якщо ви уважно слухали, для 8 х 7.

Учень 2

Народна математика — сукупність народних математичних знань та навичок, в основі якої лежать потреби практичної діяльності (необхідність виконання різних арифметичних дій при проведенні землемірних робіт, зведенні житла та інших споруд тощо). Недоступність професійних математичних знань для широких верств українського населення у минулому зумовлювала удосконалення найпростіших традиційних прийомів лічби, вимірювання, способів зображення чисел і т. ін.

     На Україні найдавнішими засобами лічби були пальці рук, різні дрібні предмети. Так, при лічбі на пальцях, або, як називали, на колодочках, на одній руці було прийнято налічувати 15 "колодочок" з долоні та 15 — з іншої частини цієї ж руки. З предметів використовували картоплини, квасолинки, палички та ін. Для економії лічби існували числові групи: пара, трійка, п'ятка, десяток, копа тощо. Парами лічили худобу, птицю, хатнє добро (чоботи, підошви), трійками — нитки у прядиві (три нитки складали чисницю), п'ятками — снопи, десятками — яйця, гарбузи, кавуни, копами — яйця та снопи.

Друге випробування: порахуйте швидко парами, трійками скільки горіхів знаходиться в кошику.

Учень 3

     Українська народна математика мала у своєму арсеналі оригінальні способи зображення чисел. Одиниці позначалися паличками, десятки — хрестиками, сотні — кружечками, тисячі — квадратиками. Що ж до дробових чисел, то їх передавали переважно в усній формі з відповідними назвами (половина, чверть, осьмушка, шістнадцятка та ін.). Письмово (невеличкими горизонтальними рисками) зображалися лише найбільш уживані дроби.

     Для написання числових знаків використовували найрізноманітніші предмети (дощечки, палички). Проте найчастіше для цього послуговувалися одвірками, дверима, стінами, на яких малювали рисочки або карбували зарубки. Досить поширеним засобом для позначення чисел були зарубки на невеличких дощечках, прямокутних брусках чи палицях. Такі своєрідні "документи" використовували лісоруби, ремісники, ними послуговувалися, позичаючи гроші, здаючи податки, засипаючи в амбари на зберігання зерно тощо. Карбування у різних місцевостях України мало різні назви (карбики на Поділлі, цурки на Полтавщині, раваші на Гуцульщині, бірки на Київщині).

Випробування третє: Розгадайте як підраховував лісник дерева в лісі і скільки дерев він нарахував на одній ділянці, якщо в нього на листку було намальовано один квадратик, три кружечки, шість хрестиків і чотири палички.

   Учень 4

  Арифметичні дії виконувалися усно. Існували своєрідні народні назви дій — додати, докласти, відкинуть, відлічить. Поширеним був спосіб додавання, коли спочатку додавалися сотні, потім десятки, а в кінці — одиниці. Множили шляхом повторного послідовного додавання. Ділення виконували, підбираючи частку послідовним повторним відніманням.

Приклади усного рахунку в давнину

    На млин привезли спочатку 48 пудів, потім 95, а пізніше ще 117 пудів зерна.

     Щоб дізнатися, скільки всього зерна привезли на млин, мірошник підрахував: перший раз — 50 пудів (на 2 менше), другий раз — 100 пудів (на 5 менше), третій 120 пудів (на 3 менше). Мірошник спочатку додавав «круглі» числа, потім віднімав зазначені числа: 50+100+120-(2+5+3)=260

Випробування четверте: підрахуйте усно скільки буде 186 + 78+297  (561)

Учень5

     Українські селяни знали й деякі основи геометрії. Зокрема, вони мали уявлення про просту й ламану лінії, про властивості рівнобіжних ліній тощо. При будівництві хат та виготовленні бондарських виробів використовували властивості діагоналей прямокутника (щоб побудувати стіни під прямим кутом), обчислювали відношення довжини кола до діаметра (за останній приймали третину довжини кола). Бондарі та теслярі вміли користуватися циркулем. Розписуючи хати, побутові вироби, селяни послуговувалися різними геометричними фігурами. Українцям були відомі оригінальні прийоми визначення відстані до недоступного предмета, виміру площі земельних ділянок різноманітних форм. Знали й основи механіки, які використовували при будівництві хат, вітряків, культових споруд та ін.

Випробування п’яте: використовуючи підручний матеріал побудуйте коло без циркуля на дошці.

Учень 6

Народні прийоми швидкого усного рахунку

     Є багато народних прийомів, які мали за мету настанови до швидкого виконання усного обчислення рахункових операцій з натуральними числами. Наведемо деякі найпростіші з них, які легко засвоюватимуться. Більш-менш довгочасне тренування дасть можливість виконувати швидкі усні обчислення з такою безпомилковістю, як і при письмових обчисленнях.

Множення і ділення на 4 і на 8:

а) щоб усно помножити число на 4, його двічі подвоюють:

112*4 = 224*2 = 448;

б) щоб усно помножити число на 8, його тричі подвоюють:

117*8 = 234*4 = 468*2  = 936;

Випробування шосте.   Виконати цим способом множення 123 х 8. (592)

Множення на 5 і на 25:

а)    щоб усно помножити число на 5, його множать на 10 і ділять

на 2, тобто дописують до числа 0 і ділять навпіл:

74 • 5 = 740 : 2 = 370.

     При множенні парного числа на 5 зручніше спочатку його поділити на 2 і до одержаного результату дописати 0:

74 • 5 = 74 : 2 • 10 = 370;

б)    щоб усно помножити число на 25, його множать на 100 і ділять на 4, тобто, якщо число ділиться на 4, то його ділять на чотири і до частки дописують два нулі:

72*25 = 72: 4*100= 18*100 = 1800.

Випробування сьоме.   85 х 5;   64 х 25 (425, 1400)

Множення на 9 і на 11:

а)    щоб усно помножити число на 9, треба дописати до нього 0 і додати задане число:     62*9 = 620 - 62 = 600 - 42 =  558;

б)    щоб усно помножити число на 11, треба дописати до нього 0 і відняти задане число:  87*11 = 870 + 87 = 957.

Випробування восьме.  97 х 9;   56 х 11 (873, 616)

Народні знання

Етноматематика - розділ математики, що досліджує культуру, у якій виникає математика. Етноматематика особливо зосереджена на математиці, що є частиною загальної культури, а не на формальній, академічній математиці, хоча деякі етноматематики вивчають формальну математику як експонат специфічної культури або культур. Ціль етноматематиків полягає в тому, щоб внести вклад і в розуміння культури і в розуміння математики, але головним чином до відносин між ними.

Система народних знань — важлива складова традиційно-побутової культури, раціональні відомості з різних галузей знань, набуті протягом багатовікової трудової діяльності народу. Потреби розвитку господарства спонукали людину виявляти закономірності у природі, спостерігати небесні світила, пізнавати й тлумачити різноманітні явища оточуючого світу.

Система народних знань обіймає народну медицину, ветеринарію, народний календар і метеорологію, народну астрономію та метрологію, народні професійно-виробничі знання та ін. На різних історичних етапах традиційні знання різною мірою поєднували раціональні елементи народного досвіду з ірраціональними нашаруваннями попередніх епох.

Незважаючи на певний розвиток наукових знань, українці навіть на початку XX ст. користувалися у повсякденному житті досвідом предків. Разом із тим на протязі століття система народних знань зазнавала чимраз відчутнішого впливу науки. Зростав рівень освіченості населення, народні знання поступово очищалися від забобонних уявлень та вірувань.

Однак цей процес мав і свої вади, головна з яких — девальвація значущості раціональних народних знань, нігілістичне ставлення до безцінних скарбів народного досвіду. Традиційні народні знання з математики, метрології, астрономії повністю витіснились сучасними науковими знаннями, що інтенсивно поширюються через систему шкільної та вищої освіти. Із зникненням багатьох народних промислів та ремесел губляться й пов'язані з ними професійно-виробничі знання й навички. Проте окремі елементи Системаи народних знань і сьогодні широко побутують серед сільського населення.

Народна математика — сукупність народних математичних знань та навичок, в основі якої лежать потреби практичної діяльності (необхідність виконання різних арифметичних дій при проведенні землемірних робіт, зведенні житла та інших споруд тощо). Недоступність професійних математичних знань для широких верств українського населення у минулому зумовлювала удосконалення найпростіших традиційних прийомів лічби, вимірювання, способів зображення чисел і т. ін.

В Україні найдавнішими засобами лічби були пальці рук, різні дрібні предмети. Так, при лічбі на пальцях, або, як називали, на колодочках, на одній руці було прийнято налічувати 15 "колодочок" з долоні та 15 — з іншої частини цієї ж руки. З предметів використовували картоплини, квасолинки, палички та ін. Для економії лічби існували числові групи: пара, трійка, п'ятка, десяток, копа тощо. Парами лічили худобу, птицю, хатнє добро (чоботи, підошви), трійками — нитки у прядиві (три нитки складали чисницю), п'ятками — снопи, десятками — яйця, гарбузи, кавуни, копами — яйця та снопи.

Українська народна математика мала у своєму арсеналі оригінальні способи зображення чисел. Одиниці позначалися паличками, десятки — хрестиками, сотні — кружечками, тисячі — квадратиками. Що ж до дробових чисел, то їх передавали переважно в усній формі з відповідними назвами (половина, чверть, осьмушка, шістнадцятка та ін.). Письмово (невеличкими горизонтальними рисками) зображалися лише найбільш уживані дроби.

Для написання числових знаків використовували найрізноманітніші предмети (дощечки, палички). Проте найчастіше для цього послуговувалися одвірками, дверима, стінами, на яких малювали рисочки або карбували зарубки. Досить поширеним засобом для позначення чисел були зарубки на невеличких дощечках, прямокутних брусках чи палицях. Такі своєрідні "документи" використовували лісоруби, ремісники, ними послуговувалися, позичаючи гроші, здаючи податки, засипаючи в амбари на зберігання зерно тощо. Карбування у різних місцевостях України мало різні назви (карбики на Поділлі, цурки на Полтавщині, раваші на Гуцульщині, бірки на Київщині).

Арифметичні дії виконувалися усно. Існували своєрідні народні назви дій — додати, докласти, відкинуть, відлічить. Поширеним був спосіб додавання, коли спочатку додавалися сотні, потім десятки, а в кінці — одиниці. Множили шляхом повторного послідовного додавання. Ділення виконували, підбираючи частку послідовним повторним відніманням.

Українські селяни знали й деякі основи геометрії. Зокрема, вони мали уявлення про просту й ламану лінії, про властивості рівнобіжних ліній тощо. При будівництві хат та виготовленні бондарських виробів використовували властивості діагоналей прямокутника (щоб побудувати стіни під прямим кутом), обчислювали відношення довжини кола до діаметра (за останній приймали третину довжини кола). Бондарі та теслярі вміли користуватися циркулем. Розписуючи хати, побутові вироби, селяни послуговувалися різними геометричними фігурами. Українцям були відомі оригінальні прийоми визначення відстані до недоступного предмета, виміру площі земельних ділянок різноманітних форм. Знали й основи механіки, які використовували при будівництві хат, вітряків, культових споруд та ін.

Елементи народної математики

     У різних народів міри були різними. Частина з них ще й понині побутує у народній термінології. З розвитком  міжнародної торгівлі виникла потреба встановити єдину систему мір. Наведемо  приклади стародавніх мір і їх співвідношення  з сучасними мірами. Відомості з народної математики викликають зацікавленість до вивчення математики та її історії, культури нашого народу, розвивають кругозір.

Міри довжини

     Своєрідною виявилася народна система лінійних мір, якою користувались в Україні з давніх-давен. Їх походження має антропометричний характер. Усі давні лінійні міри пов'язані з природним рухом (розведенням пальців, розмахом рук), з окремими частинами людського тіла (ліктем, п'ядею, пальцями, ступнею і навіть голосом) чи фізичною силою - "на відстань голосу", "на відстань кинутого каменя" тощо. Тому у різних народів вони були не однаковими, тісно пов'язувалися з традиційними особливостями ("локоть давньоримський", "локоть мадярський"). Основними мірами довжини ще з часів Київської Русі були "локоть", "п'ядь", "ступня", "сажень" і навіть "крок". "Локоть" - відстань між ліктьовим суглобом і кінцем стиснутого кулака ("п'ястуха") людини середнього зросту - становив 45-50 см. "Литовський локоть" дорівнював 61,6 см і був поширений на Поліссі. Цю міру довжини знали і в Греції, і в Індії, і в Персії. До нашого часу вона збереглась в Болгарії, Данії, Польщі, Нідерландах, Ефіопії. Користувалися цією мірою для вимірювання тканини, стрічок. Мірою довжини є й аршин - це , по суті, той самий лікоть. Досі ним користуються в Афганістані, Болгарії, Ірані, Туреччині. Аршин дорівнює 71,12 см. Аршин ділився на 16 вершків. Вершок - 4,4 см. Меншими за величиною були такі міри, як "стопа" і "п'ядь". У Карпатах паралельно зі "стопою" вживався термін німецького походження "шух" (приблизно 30 см), який ділився на 12 "перстів", чи "пальців" (величина великого пальця). "Перст" у лісорубстві ототожнювався з "цалем", "цолом" (2,5 см). В українців, як і в багатьох інших слов'янських народів, "п'ядь" розділялася на дві величини - "мала п'ядь" і "велика п'ядь". "Мала п'ядь", або ще "хрома п'ядь", - це відстань між розставленими великим і вказівним пальцями (19 см), а "велика п'ядь" - між великим пальцем і мізинцем (21-23 см).
    Наведені вище міри застосовувались переважно у ткацтві, почасти у різних народних промислах, а також у будівництві; "сажень" стосувався міри землі. Витягнуті в обидва боки руки становили "сажень" ("сяг") - приблизно 177-186 см. "Коса сажень" дорівнювала 2,5 м і визначалась відстанню від підошви лівої ноги до кінців пальців витягнутої вгору правої руки. Відстань на землі ще міряли "кроком", що дорівнював 75 см. Про невеликі розміри чи відстані говорили: на волосину, на палець, на ніготь.
    Існували міри за видом занять - рибальські ("одне весло", "два весла"), боднарські ("обчиркач"), будівельницькі тощо.

    Короткий сажень—основна міра у Київській Русі, що дорівнювала трьом ліктям.
    Вершок — 4,4 см.
    Ярд — 91,4 см.
    Чверть — 18 см; віддаль між кінцями розставлених пальців —великого і мізинця.
    Цаль — 2 см.
    Жердка — 5 м.

      На Бойківщині використовували ще такі міри довжини:
      кльоб — сувій домотканого полотна довжиною 30 — 35 м, стіна — сувій

домотканого полотна довжиною 8 — 9 м, міра — сувій домотканого полотна довжиною 70—80 см.

      З незапам'ятних часів людство застосовувало за одиниці довжини розміри частин людського тіла. Це міри, які завжди «з нами». Невелика різниця у їх розмірах у різних людей при грубих вимірах не мала особливого значення. Побутували такі міри: палець, долоня, стопа, лікоть, крок, розмах рук. Невеликі віддалі нерідко і в наш час вимірюються кроками там, де не потрібна особлива точність. Використовувалась міра, що визначалася дистанцією, на якій було чути голос людини чи рев тварини. Міра «поки чути ревіння вола» виникла, мабуть, за часів чумацьких переходів. Були ще і такі міри: «віддаль польоту стріли», «на рушничний чи гарматний постріл», «куди долетить топорище».

Міри поля

     У хліборобській практиці потрібно було якось вимірювати поле. Народні міри, що з'явилися у процесі тих чи інших польових робіт, мали досить умовний характер, були надто приблизними. Найбільш поширеною була міра "день орати", чи "день землі", або "на один плуг", тобто величина поля, зорана впродовж дня.
     Оскільки продуктивність оранки залежала від типу ґрунту, досконалості знарядь оранки і тяглової сили, то і величини були неоднакові. У Карпатах міра "день орати" становила один морг (0,57 га) землі, а на переважній більшості етнічної території наближалась до одного гектара. На Поліссі побутувала міра "соха", тобто приблизно 0,40 га. Меншою за розміром була "упруга" - третя частина міри "день землі", поширена на Лівобережжі. "Упруги" були ранкові, обідні, вечірні.
     Великі площі поля вимірювалися "ланами" (19-25 га), на Поліссі, Волині - "волоками" (21 га), що поділялися на "прути" (1,2-1,5 га). Це були дещо регламентовані міри поля, на відміну від тих, які визначались за виконаною роботою протягом одиниці часу. Існували міри площі за величиною скошеного поля ("день косити"), за кількістю висіяного зерна - "віко" (1/8 га, на яку припадає 25л зерна для засіву).
     На Закарпатті селяни послуговувалися мірою, яка називалася "ділець" ("телека") - величина сільськогосподарських угідь, що забезпечувала прожитковий мінімум для господаря. Сюди належали: садиба, орне поле, луки, пасовисько. Народні виміри виявилися живучими: навіть після запровадження стандартизованих одиниць, таких, як десятина (1 га), морг (0,57 га), гольд (0,48 га), кадастральний гольд (0,57 га), угр (1 га) тощо, селяни використовували давні міри.

Міри площі

У давнину міри площі були найрізноманітнішими:

Міри 1—12 використовували у Львівській і Житомирській областях.

1.    Десятина — 1,09 га.
2.    Квадратна верста — 1,1 км²,
3.    Квадратний сажень —1,1м².
4.    Квадратний аршин — 0,5 м².
5.    Квадратний вершок —19,7 см².
6.    Квадратний фут — 0,09 м².
7.    Різа — 3,6 десятин
8.    Морг — 0,57 га.
9.    Лан — 10 десятин.
10.  Стая — 1,75 морга.
11.  Волок — ЗО моргів.
12.  Ґрунт — 3 загони, загін — 4 морги.
    

     У Чернівецькій області використовували міри 13—17:
13.    Пражна — 130 м²
14.    Фальча — 80 пражин.
15.    Різа — 10 моргів.
16.    Морг — 45 пражин.
17.    Влока — 20 моргів.

     На Гуцульщині використовували міри 18—21. Тут терміни вимірів земельних ділянок пов'язували з часом, потрібним для обробки поля: день, упруг, різа. Наприклад, день — площа землі, яку виорює сита пара волів за день, упруг — площа землі, яку виорює пара волів з ранку до обіду.
18.    Різа — 10 моргів.
19.    Лук — 252 сажні2.
20.    Обжа — 2 луки.
21.    Соха — 3 обжі.

Міри маси і рідини

     Споконвіку мірою для сипких продуктів - зерна, муки, круп - була не їх маса, а об'єм. Обмін здійснювали за правилом: однаковий товар вимірювався посудом однакової місткості. Так з'явилися "мірки". У Карпатах це був посуд (бочка) на 32 л зерна. Меншими одиницями - були "півлітра" (16 л) і "чвертка" (8 л).

Ними могли міряти крупу або муку. Побутував й інший спеціальний посуд для мір - "міртук", а також "гелетка". Поширеною стала така міра, як "гарнець" ("горнець"), що містила 3,7 л і поділялась на чотири кварти. Сталою мірою був "корець" (96 кг). На Гуцульщині йому відповідав "кобельчи" ("кобель"), що поділявся на чотири "фердилі", а останній, у свою чергу, - на чотири "патралиці" (8 л).
    Велику кількість зерна зберігали у "кадовбах" (8 ц), різної місткості бочках (від 200 до 100 кг). Відповідно вони стали й мірою - "один кадовб", "одна бочка". Для муки ще з давньоруських часів існувала міра "мисль" ("мисель") - посуд, що мав вигляд дволітрової циліндричної бляшанки.
     З тієї доби залишилась у побуті українського населення Карпат міра "око" місткістю в одне відро (10 л). На Гуцульщині функцію "ока" виконував камінь масою 12 ок ("камінь вовни"). Рідину міряли: відром ("коновцею"), "порцією" (100 г), "михайликом" (до 900 г), "кватиркою" (до 250 г) тощо; сир - "грудками", "гелетками" (6-12 кг), "бербеницями" (32 кг), "беривкою" (16 кг).

     Своєрідною мірою врожаю зернових служили: "віз" ("фура"), "сани", "снопи", "бабки", "кладні", "хрести". Народна арифметика починалася з лічби на пальцях рук, паличок, камінчиків, бобів чи квасолі. Однак спорудження будинків, виготовлення складних знарядь праці - воза, плуга тощо вимагали певних знань і навичок. Найпростіші форми рахунків застосовували при випасанні худоби на відгоні. Для цього служив "раваш" - прямокутний брусок з позначками - "карбами", половина якого вручалась пастухам, а друга залишалася у господаря.
     Хлібороби вимірювали величину поля (прямокутні й багатокутні), здійснювалися розрахунки під час будівництва інженерних споруд, запроваджувався облік у ткацтві - "чисниця" (3 нитки), "пасмо" (30 ниток), "моток" (90 ниток) тощо.
Стародавні міри довжини та маси на практиці майже не вживаються, але їх часто можна зустріти в оповіданнях, повістях, книгах з історії. Назви мір довжини згадуються також і в прислів'ях: "Від горшка два вершка", "Коса сажень в плечах", "Міряє на свій аршин".

Міри сипких тіл і рідин

     З розвитком обміну продуктів виникла потреба у їх вимірюванні за допомогою мір об'єму. Сипкі тіла та рідини міряли, наповнюючи ними посудину певної місткості. Так з'явилися одиниці вимірювання сипких тіл та рідин. Але у цих мірах був великий різнобій.
     Отже, сипкі тіла та рідини в Україні міряли такими мірками:

1.  Пуд - 16 кг (1 мірка).
2.    Корчак — 2 відра.
3.    Бочка — 40 відер.
4.    Лукно — 4 відра.
5.    Відро — 12,5 л
6.    Цебер — 3 відра.
7.    Пляшка — 0,77 л.
8.    Кварта —  л.
9.    Крігель (гальба) — 0,5 л.
10.    Синжап - 100 г.
11.    Кубка-0,5 л.
12.    Фелея — 2,5 л.
13.    Деко - 10 кг.
14.    Кіло - 1 кг.
15.    Корець - 100 кг.
16.    Фунт - 0,4 кг.
17.    Око – 1-- л.
18.    Корець — 10 деко.
19.    Колода — 4 корці.
20.    Маца - 62,5 л.
21.    Лашт — ЗО корців.
22.    Гарнець — 4 л.
23.    Чвертка — 25 кг.
24.    Гелетка — 25 кг.

     На Поділлі зерно вимірювали корцями. Бочку називали куфою, ними возили чумаки вино з Криму. Мірами 5—17 користувалися на Буковині. На Дрогобиччині були і свої міри 18—28, якими в основному користувалися для вимірювання зерна. Міру 9 використовували для вимірювання об'єму пива, а міру 11 — для об'єму молока.
      Під час жнив, сінокосів селяни користувалися такими мірами:

1.    Сирота — 3 кулаки стеблин.
2.    Сніп — 3 сироти.
3.    Копа — 60 снопів.
4.    Околіт — вимочений сніп.
5.    Стос — велика купа снопів.
6.    Пук — 10 снопів для покриття хати.
7.    Китиця — жмут соломи для покриття хати.

   Міри скошеного сіна — копиця, скирта, оборіг.
   Міри дров — чвертка — 1м3, тух — 4 м3, фіра дров, оберемок, латер -8 м3
   Тютюн міряли скжутками (10 листків), папушами (30— 40 листків).
   Міри яєць і фруктів - мендель — 15 штук, копа — 4 менделі.

Грошові міри

      Міри маси багатьох народів збігалися з грошовими одиницями. Це пояснюється тим, що до появи карбованих монет грошовими одиницями були вагові одиниці металу. У X ст. з'явилася металева грошова одиниця — срібна гривня. Вага першої дрібної гривні невідома. Очевидно, що вона у різних місцевостях мала різну вагу. Велику срібну гривню, яка була незручною у повсякденному вжитку, у XIV ст. стали рубати навпіл. Злиток срібла вагою у половину гривні називали малою гривнею або карбованцем.
Старовинні монети мали такі назви:

шаг — 0,5 копійки;
гривня — 3 копійки;
золотий — 5 гривень;
семигривеник — 20 копійок (на Полтавщині);
сороківка — 20 копійок (на Житомирщині);
копа грошей — 25 копійок (на лівобережжі Дніпра ).

      У 1835 р. випущено монети із зображенням вершника, який у руці тримав спис («копіє»). Звідси і походить назва копійки.

Метрологія і математика

Умовне і своєрідне окреслення мір часу, довжини, обсягу тощо виникло в процесі трудової діяльності людини. Впродовж тривалого часу ці виміри унормовувалися і набирали певного шаблону, відомого і визнаного у конкретному людському середовищі. Та чи інша величина поширювалася під час обмінних торгових операцій. Набуті віками навички виміру поля, довжини, маси, часу закріплювались у повсякденному житті, хоча паралельно засвоювались загальноприйняті стандартизовані міри.

 

Народні виміри часу. Людина у своєму житті насамперед помічає плин часу. Отже, відповідно формувалася і певна часова орієнтація. Вона передусім полягала в означенні виміру тривалості дня, доби, поділу їх на часові відрізки, які вмотивовувались традиційним побутом, господарською діяльністю. Саме в такому часовому вимірі людина вбачала суть буття: «Що сьогодні?». І її існування поділялося не на тижні, місяці, роки, десятиліття, а на дні — основний відлік часу, що стосувався повсякденної діяльності.

Доба поділялася на чотири частини: ранок, день, вечір, ніч, а день, як активна часова частина доби, — відповідно на ранок, обід («полуднє») і вечір. Поза тим був ще й інший відлік: за першими півнями, другими, третіми, що відповідало передранковій порі. Часто користувались поняттями «до полудня», «по полудню годину чи другу», «перед заходом Сонця», «опівночі» тощо.

Визначення тривалості дня відбувалось через виробничі процедури. Зокрема, день міг прирівнюватися до півгектара поля, тобто по кількості часу, затраченого на оранку цієї площі («день орати», або «день косити»), тощо. Побутувало багато традиційних способів дізнатися про пору дня. Найчастіше орієнтувалися за тінню людини, якогось предмета (будинку, дерева), розташуванням Сонця на небосхилі стосовно горизонту тощо.

Більші відтинки часу окреслювались деякими процесами, що відбувались у природі: цвітінням характерної для даної місцевості рослинності або прильотом птахів. Була поширеною календарна прив'язаність часу: «на Коляду», «до Коляди», «у піст», «у Великий піст», а також до сімейно-побутових дій: «до хрестин», «після весілля» тощо.

Отже, більш точна регламентація часових вимірів здійснювалась у побуті, а також у процесі господарської діяльності. Другий рівень, умовний, стосувався відтворення пам'ятних подій родинного чи громадського життя, а також історичного минулого.

Міри довжини. Своєрідною виявилася народна система лінійних мір, якою користувались в Україні з давніх-давен. їх походження має антропометричний характер. Усі давні лінійні міри пов'язані з природним рухом (розведенням пальців, розмахом рук), з окремими частинами людського тіла (ліктем, п'ядею, пальцями, ступнею і навіть голосом) чи фізичною силою — «на відстань голосу», «на відстань кинутого каменя» тощо. Тому у різних народів вони були не однаковими, тісно пов'язувалися з традиційними особливостями («локоть давньоримський», «локоть мадярський»).

Основними мірами довжини ще з часів Київської Русі були «локоть», «п'ядь», «ступня», «сажень» і навіть «крок». «Лікоть» — відстань між ліктьовим суглобом і кінцем стиснутого кулака («п'ястуха») людини середнього зросту — становив 45— 50 см. «Литовський локоть» дорівнював 61,6 см і був поширений на Поліссі. Меншими за величиною були такі міри, як «стопа» і «п'ядь». У Карпатах паралельно зі «стопою» вживався термін німецького походження «шух» (приблизно 30 см), який ділився на 12 «перстів», чи «пальців» (величина великого пальця). «Перст» у лісорубстві ототожнювався з «цалем», «цолом» (2,5 см).

В українців, як і в багатьох інших слов'янських народів, «п'ядь» розділялася на дві величини — «мала п'ядь» і «велика п'ядь». «Мала п'ядь», або ще «хрома п'ядь», — це відстань між розставленими великим і вказівним пальцями (19 см), а «велика п'ядь» — між великим пальцем і мізинцем (21—23 см).

Наведені вище міри застосовувались переважно у ткацтві, почасти у різних народних промислах, а також у будівництві; «сажень» стосувався міри землі. Витягнуті в обидва боки руки становили «сажень» («сяг») — приблизно 177—186 см. «Коса сажень» дорівнювала 2,5 м і визначалась відстанню від підошви лівої ноги до кінців пальців витягнутої вгору правої руки. Відстань на землі ще міряли «кроком», що дорівнював 75 см. Існували міри за видом занять — рибальські («одне весло», «два весла»), боднарські («обчиркач»), будівельницькі тощо.

Міри поля. У хліборобській практиці потрібно було якось вимірювати поле. Народні міри, що з'явилися у процесі тих чи інших польових робіт, мали досить умовний характер, були надто приблизними. Найбільш поширеною була міра «день орати», чи «день землі», або «на один плуг», тобто величина поля, зорана впродовж дня.

Оскільки продуктивність оранки залежала від типу ґрунту, досконалості знарядь оранки і тяглової сили, то і величини були неоднакові. У Карпатах міра «день орати» становила один морг (0,57 га) землі, а на переважній більшості етнічної території наближалась до одного гектара. На Поліссі побутувала міра «соха», тобто приблизно 0,40 га. Меншою за розміром була «упруга» — третя частина міри «день землі», поширена на Лівобережжі. «Упруги» були ранкові, обідні, вечірні.

Великі площі поля вимірювалися «ланами» (19—25 га), на Поліссі, Волині — «волоками» (21 га), що поділялися на «прути» (1,2—1,5 га). Це були дещо регламентовані міри поля, на відміну від тих, які визначались за виконаною роботою протягом одиниці часу. Існували міри площі за величиною скошеного поля («день косити»), за кількістю висіяного зерна — «віко» (1/8 га, на яку припадає 25 л зерна для засіву).

На Закарпатті селяни послуговувалися мірою, яка називалася «ділець» («телека») — величина сільськогосподарських угідь, що забезпечувала прожитковий мінімум для господаря. Сюди належали: садиба, орне поле, луки, пасовисько.

Народні виміри виявилися живучими: навіть після запровадження стандартизованих одиниць, таких, як десятина (1 га), морг (0,57 га), гольд (0,48 га), кадастральний гольд (0,57 га), угр (1 га) тощо, селяни використовували давні міри паралельно.

Міри маси і рідини. Споконвіку мірою для сипких продуктів — зерна, муки, круп — була не їх маса, а об'єм. Обмін здійснювали за правилом: однаковий товар вимірювався посудом однакової місткості. Так з'явилися «мірки». У Карпатах це був посуд (бочка) на 32 л зерна. Меншими одиницями — були «півлітра» (16 л) і «чвертка» (8 л). Ними могли міряти крупу або муку. Побутував й інший спеціальний посуд для мір — «міртук», а також «гелетка». Поширеною стала така міра, як «гарнець» («горнець»), що містила 3,7 л і поділялась на чотири кварти. Сталою мірою був «корець» (96 кг). На Гуцульщині йому відповідав «кобельчи» («кобель»), що поділявся на чотири «фердилі», а останній, у свою чергу, — на чотири «патралиці» (8 л).

Велику кількість зерна зберігали у «кадовбах» (8 ц), різної місткості бочках (від 200 до 100 кг). Відповідно вони стали й мірою — «один кадовб», «одна бочка».

Для муки ще з давньоруських часів існувала міра «мисль» («мисель») — посуд, що мав вигляд дволітрової циліндричної бляшанки.

З тієї доби залишилась у побуті українського населення Карпат міра «око» місткістю в одне відро (10 л). На Гуцульщині функцію «ока» виконував камінь масою 12 ок («камінь вовни»). Рідину міряли: відром («коновцею»), «порцією» (100 г), «михайликом» (до 900 г), «кватиркою» (до 250 г) тощо; сир — «грудками», «гелетками» (6—12 кг), «бербеницями» (32 кг), «беривкою» (16 кг).

Своєрідною мірою врожаю зернових служили: «віз» («фура»), «сани», «снопи», «бабки», «кладні», «хрести».

Народна арифметика починалася з лічби на пальцях рук, паличок, камінчиків, бобів чи квасолі. Однак спорудження будинків, виготовлення складних знарядь праці — воза, плуга тощо вимагали певних знань і навичок. Найпростіші форми рахунків застосовували при випасанні худоби на відгоні. Для цього служив «раваш» — прямокутний брусок з позначками — «карбами», половина якого вручалась пастухам, а друга залишалася у господаря.

Хлібороби вимірювали величину поля (прямокутні й багатокутні), здійснювалися розрахунки під час будівництва різних інженерних споруд, запроваджувався облік у ткацтві — «чисниця» (3 нитки), «пасмо» (30 ниток), «моток» (90 ниток) тощо.

 Народна метрологія — галузь народних знань, пов'язана із визначенням фізичних параметрів оточуючого світу і предметів, що знаходяться в ньому. Традиційні метричні одиниці, що побутували на Україні, походять від давньоруських, утворених за антропометричним принципом, тобто за еталон виміру бралися частини людського тіла. Серед найдавніших народних вимірів місткості є такі, наприклад, як ковток, пригорща, жменя. Нерідко такими еталонами слугували господарсько-побутові предмети чи знаряддя праці (коса, весло, відро, бочка тощо).

При вимірюванні довжини речей та відстані застосовували відомі ще з часів Київської Русі міри: п'ядь, лікоть, ступня, сажень, що були пов'язані з природними рухами людини — ходінням, розведенням пальців, розмахом рух. Із XVII—XVIII ст. поширюються такі міри, як аршин та верста (500 сажнів). Аршин поділявся на 16 вершків або чотири чверті і дорівнював приблизно 71,1 см.

Подекуди існували досить оригінальні міри відстані на землі: кидь (Харківщина), палку закинути (Полісся), довержай (Закарпаття), що означали відстань, на яку можна кинути камінець, грудку землі чи палицю. Користувалися ще кроком або ступнею, що дорівнювали одному аршину. На Полтавщині була відома й така одиниця, якприг(близько одного сажня, утворювався при стрибанні з допомогою палиці). Популярною мірою була гона, причому розрізняли добру гону (120 сажнів), середню (80) і малу (60). Для ретельнішого обчислення землі до різних одиниць виміру додавали гаки, величина яких коливалася від чверті до цілої гони.

Українські селяни користувалися досить поширеними народними способами виміру площі земельних ділянок. За основу його бралася площа прямокутника з розмірами 30 на 80 або 40 на 60 сажнів. Вживалися також офіційні одиниці виміру — десятина, морг тощо. Побутували й більш давні народні міри — день, опруг, різа, лан, півланок, одріз, клітка та ін. Деякі з них означали кількість витраченого часу на обробіток певної ділянки або кількість зібраного урожаю на певній площі.

Відзначимо оригінальний народний спосіб вимірювання відстані до недоступних предметів: бриль насували на очі так, щоб його край перебував в одній площині з очима і предметом, відстань до якого вимірювалася. Потім відшукували інший, доступний предмет, що знаходився у тій самій площині. Вимірявши відстань до нього, прирівнювали її до відстані до недоступного предмета.

При вимірюванні сипких речовин теж користувалися народними одиницями. Зокрема, зерно міряли міркою (посудиною на пуд або півпуда ваги), лантухами (п'ять пудів). На Поділлі міряли корцем, який містив вісім пудів. Подекуди користувалися і давньо-слов'янською одиницею — четвериком, що дорівнював 24—26 л. Урожай обчислювали копами (60 снопів), хурами та возами. На Закарпатті побутував ферділь — дерев'яна діжка, що вміщала 25 кг зерна. Віком міряли картоплю, кукурудзу, яблука, а вагу м'яса та риби обчислювали офіційною мірою — фунтами (400 г) та оками (чотири фунти).

Існували народні одиниці виміру рідких речовин. Так, на Гуцульщині молоко міряли дерев'яним міртуком, галетами (діжками на 6 — 12 л), децями (100 г). Воду та горілку повсюдно міряли квартами (дві пляшки), гарнцями (чотири кварти), відрами.

У ткацькій справі послуговувалися такими одиницями, як чисниця (три нитки), пасмо (10 чисниць), півмітками (20 пасом). Биті коноплі вимірювали жменями, повісмами (10 жмень) тощо.

Отож, система народних метричних одиниць і самобутня метрична термінологія в українців були досить розвинутими.